Zu Anfang der öffentlichen Auseinandersetzung mit der Covid-19-Epidemie verbreiteten sich ein Hashtag und ein in vielen Varianten gezeichneter Cartoon noch viraler als das Virus selbst: #FlattenTheCurve. Das Hashtag zierte zahllose Tweets, und der Cartoon wurde in der Qualitätspresse wieder und wieder abgedruckt, z.B. hier eine Variante im Spiegel. Man konnte sich eigentlich denken, dass etwas fehlte, denn in keinem dieser Cartoons waren die Achsen mit Skalen beschriftet, und in kaum einem der zugehörigen Artikel wurden die Implikationen erörtert. Ich möchte deshalb einmal den Cartoon mit der gleichen Graphik vergleichen, wenn man die Zahlen durchrechnet.
Ursprünglich war diese Darstellung nicht an einen bestimmten Erreger angepasst und durchgerechnet, und schon gar nicht an SARS-CoV‑2
Fangen wir mit dem Cartoon an:
Ihren Ursprung hat diese Darstellung wohl in einem Dokument der amerikanischen Gesundheitsbehörde von 2007 mit dem sperrigen Titel ‚Interim pre-pandemic planning guidance : community strategy for pandemic influenza mitigation in the United States : early, targeted, layered use of nonpharmaceutical interventions‘, mit dem Ur-Cartoon auf Seite 18. Wie schon das Erscheinungsjahr zeigt, stellte dieser Cartoon auf die allgemeine Kommunikation einer Strategie ab, war aber nicht an einen bestimmten Erreger angepasst und durchgerechnet, und schon gar nicht an SARS-CoV‑2.
Die kommunizierte Strategie ist, durch eine Verlangsamung der Ausbreitung des Virus eine Überlastung des Gesundheitssystems zu vermeiden. Wohlgemerkt bleibt die Fläche unter der Kurve in beiden Szenarien ungefähr gleich, so dass also gleich viele Menschen infiziert werden bis die Epidemie durch Herdenimmunität erlischt. Eine Verringerung von Opfern wird dadurch und nur dadurch erreicht, dass die Kapazitätsgrenze des Gesundheitssystems nicht durch zu viele Infizierte auf einmal überschritten wird. Das ist im gezeichneten Beispiel auch relativ einfach zu bewerkstelligen, denn unterstellt man, dass die Achsen linear sein sollen, dann muss die maximale Zahl der gleichzeitig Infizierten nur auf ungefähr die Hälfte gedrückt und die Epidemie auf ungefähr das doppelte der Zeit gestreckt werden. (Bemerkenswerterweise ist das beim Original von 2007 allerdings nicht der Fall, denn das nennt auch als Ziel, die gesamte Fallzahl zu verringern, ohne dass aber völlig klar wäre, wie das geschehen soll.)
Was passiert aber, wenn man das einmal mit echten Zahlen durchrechnet? Man sieht sofort: Die Kurven sehen anders aus
Was passiert aber, wenn man das einmal mit echten Zahlen durchrechnet? Ich habe das mit einem simplen Modell versucht, das eine Basisreproduktionszahl R0 von 2.5 annimmt, keine vorbestehende Immunität, eine Ausbreitung von einer Infektionsgeneration pro Woche, und eine Kapazitätsgrenze von 1.25% der Bevölkerung infiziert (von denen nicht alle behandelt werden müssen). Ich habe dazu drei Szenarien errechnet:
- Unkontrolliert ist die natürliche Ausbreitung ohne weitere Infektionsschutzmaßnahmen
- Optimal kontrolliert ist eine optimale Kontrollstrategie mit perfekter Information, welche die Zahl der Infizierten gerade an der Kapazitätsgrenze des Gesundheitssystems halten kann
- Realistisch kontrolliert ist eine Annäherung an optimal kontrolliert, ohne dass eine perfekte Regelung stattfindet, aber immer noch ziemlich optimistisch
Das sieht dann so aus:
Man sieht sofort: Die Kurven sehen anders aus. Bei unkontrollierter Ausbreitung wäre an der Spitze der Kurve ein Drittel der Bevölkerung gleichzeitig infiziert, also das 26-fache unserer angenommenen Kapazität. Der wesentliche Verlauf der Infektion bis zur Herdenimmunität würde rund 14 Wochen in Anspruch nehmen, während derer mehr als einer von zehntausend infiziert wäre. Allerdings wären beim Erreichen der Herdenimmunität nicht nur die zu erwartenden zwei Drittel der Bevölkerung infiziert gewesen, sondern fast alle (98% in meinem Modell), weil die Welle mit einer solchen Wucht brandet, dass am Schluss noch fast alle infiziert werden.
Die kontrollierten Szenarien vermeiden diese gewaltige Welle, müssen dafür aber die Dauer der Epidemie auf 75 bzw. 86 Wochen ausdehnen. Um das zu erreichen, muss die Ausbreitung des Virus knapp vor Erreichen der Kapazitätsgrenze radikal eingeschränkt werden, und danach können die Schutzmaßnahmen (gemessen an der Absenkung der Basisreproduktionszahl) stetig aber langsam gelockert werden. Durch diese Abflachung verringert sich auch die Zahl der ingesamt Infizierten auf die zwei Drittel der Bevölkerung, die man für die gewählte Basisreproduktionszahl erwarten würde.
Wenn man das über die ganze Welt massenhaft verbreitete Chart durchrechnet und durchdenkt, dann sieht es gar nicht mehr so rosig aus
In diesem Modell, wie in dem originalen ‚Flatten the Curve‘-Vorschlag, gehe ich davon aus, dass die Epidemie nur durch erworbene Immunität gestoppt werden könne, also keine Silberkugel in Form einer Impfung, eines Medikaments oder einer spontanen Verringerung der Virulenz des Virus rechtzeitig zu Hilfe komme. Entsprechend wird die Zahl der Toten nur dadurch verringert, dass die unkontrollierte Totalinfektion und die Überlastung des Gesundheitssystems verhindert werden, bleibt aber bei zwei Drittel der Bevölkerung mal dem Wert, den man für die Sterblichkeitsrate einsetzt: also z.B. 0.66% der Bevölkerung bei einer Sterblichkeit von 1%.
Wenn man also das über die ganze Welt massenhaft verbreitete Chart durchrechnet und durchdenkt, dann sieht es gar nicht mehr so rosig aus, wenn auch immer noch besser als die Alternative eines unkontrollierten Durchgehens der Seuche. Als Jubelhashtag erscheint mir #FlattenTheCurve bei näherer Betrachtung nicht sehr geeignet.
An der Dunkelziffer hängt fast alles
Was nun? Ich habe das Chart mit Annahmen durchgerechnet, die optimistisch im Vergleich zu den am Anfang der Epidemie von Expertengruppen zirkulierten Zahlen sind, aber pessimistisch wenn man davon ausgeht, dass eine erhebliche Dunkelziffer an unerkannt Erkrankten bestehe. Wenn z.B. neun von zehn Erkrankten gar nicht als solche erkannt würden, dann würde sich die Kapazitätsgrenze verzehnfachen, und die benötigte Zeit der Maßnahmen würde sich auf ein Zehntel verringern wie auch die Zahl der Toten. Dass eine hohe Dunkelziffer wünschenswert wäre, macht aber nicht, dass sie auch existiert, auch wenn es Anhaltspunkte dafür gibt. An dieser Dunkelziffer hängt fast alles, und das geringe anfängliche Interesse der Experten daran, sie zu eruieren, erscheint mir mehr als befremdlich.
Auch für die Möglichkeit einer weitergehenden Eindämmung, als für eine kontrollierte ‚Durchseuchung‘, wie man das nennt, erforderlich wäre, ist die Dunkelziffer die essentielle Frage. Ist sie hoch, wird es schwieriger, Infektionsketten mit einer Rückverfolgung von Kontakten einzufangen, aber dafür wird der Weg zur Herdenimmunität plausibler. Ist die Dunkelziffer dagegen niedrig, dann wäre der Weg zur Herdenimmunität mit enormen Opfern verbunden und auch unpraktisch lang, so dass Zeitgewinn bis zur Erzielung einer Immunität durch eine Impfung als Strategie attraktiver wird.
Letztere Strategie, die unter #StopTheSpread als Hashtag firmiert, müsste natürlich erklären, wie sie auf unbestimmte Zeit durch Rückverfolgung von Infektionen die Basisreproduktionszahl auf 1 oder darunter halten will. Die oben gezeigte langsame Lockerung ginge in dieser Strategie nämlich nicht, denn sie basiert auf einer zunehmenden Anzahl von Immunen, die nicht aufgebaut wird, wenn die Infektion erfolgreich unterdrückt wird.
„Auch eine Krise der mathematischen Bildung“
Als ich mich entschloss, mit den Mosereien anzufangen, nahm ich Bezug auf einen Artikel in der FAZ, der den Umgang mit der Covid-Krise als „auch eine Krise der mathematischen Bildung“ charakterisierte. Die allgemeine Begeisterung für #FlattenTheCurve und den dazugehörigen Cartoon zu Anfang der Krise ist dafür ein glänzendes Beispiel. Leider habe ich nicht den Eindruck, dass die gegenwärtigen Diskussionen der Politiker um „Maßnahmen“ und „Lockerungen“ zu vollkommen arbiträren Kalenderdaten von einem größeren Bemühen um wenigstens eine einfache Überprüfung der mathematischen Plausibilität gekennzeichnet sind.